Un exemple d'étude de fonction

Exemple
On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(I=\left]\dfrac12\,;+\infty\right[\) par \(f(x)=\dfrac{x^2}{2x-1}\).

Étape 1 

• La fonction \(f\) est un quotient de deux fonctions : pour tout réel \(x\), \(f(x)=\dfrac{\color{blue}{u(x)}}{\color{green}{v(x)}}\).
• On pose :
  \(\color{blue}{u(x)=x^2}\) d'où \(\color{blue}{u'(x)=2x}\)
  \(\color{green}{v(x)=2x-1}\) d'où \(\color{green}{v'(x)=2}\)
  
• On applique la formule pour dériver un quotient de fonctions :
  \(f'(x)=\dfrac{\color{blue}{u'(x)} \times \color{green}{v(x)} - \color{blue}{u(x)} \times \color{green}{v'(x)}}{\color{green}{(v(x))^2}}\)
  soit \(f'(x)=\dfrac{\color{blue}{2x} \times \color{red}{(}\color{green}{2x-1}\color{red}{)} - \color{blue}{x^2} \times \color{green}{2}}{\color{red}{(}\color{green}{2x-1}\color{red}{)}^2}\) 
  soit \(f'(x)=\dfrac{\color{red}{(}4x^2-2x\color{red}{)}-2x^2}{(2x-1)^2}\) 
  soit \(f'(x)=\dfrac{2x^2-2x}{(2x-1)^2}\)                 
  soit \(f'(x)=\dfrac{2x(x-1)}{(2x-1)^2}\) (on factorise l'expression au numérateur)

Étape 2

Pour tout réel \(x \in I\), \((2x-1)^2>0\), donc \(f'(x)\) est du même signe que \(2x(x-1)\).
À l'aide d'un tableau de signes, on en déduit le signe de \(f'(x)\) sur \(I\).

Étape 3

Du signe de la fonction dérivée, on en déduit les variations de la fonction \(f\) sur \(I\).

• Pour \(x\in\left]\dfrac12\,;1\right[\), \(f'(x)<0\), donc la fonction \(f\) est strictement décroissante sur l'intervalle \(\left]\dfrac12\,;1\right[\).
  
• Pour \(x\in\left]1\,;+\infty\right[\), \(f'(x)>0\), donc la fonction \(f\) est strictement croissante sur l'intervalle \(\left]1\,;+\infty\right[\).

Étape 4

D'après les variations de la fonction \(f\) sur \(I\), la fonction \(f\) admet un minimum en \(x=1\) et la valeur de ce minimum est \(f(1)=1\).